Question

【题目】如图，是的直径，点D在上，的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段上的点，过点E的弦于点H．

（1）求证：；

（2）已知，，且，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）-2．

【解析】

（1）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据切线的性质得到∠ABC=90°，得到∠C=∠ABD，根据圆周角定理即可得到结论；

（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．

解：（1）证明：如图1，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠CAB=90°，
∴∠C=∠ABD，
∵∠AGD=∠ABD，
∴∠AGD=∠C；

（2）解：∵∠BDC=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∴，
∴AC=9，
∴AB=，
∵CE=2AE，
∴AE=3，CE=6，
∵FH⊥AB，
∴FH∥BC，
∴△AHE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AH=，EH=2，
如图2，连接AF，BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFH+∠BFH=∠AFH+∠FAH=90°，
∴∠FAH=∠BFH，
∴△AFH∽△FBH，
∴ ，
∴，
∴FH=，
∴EF=-2．