Question

8．已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．且△OCP与△PDA的面积比为1：4
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA； 
②求边AB的长；
（2）如图2，连结AP、BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

Answer 1

分析 （1）①只要证明∠PAD=∠CPO，由∠D=∠C=90°，即可证出△OCP∽△PDA；
②根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP=$\frac{1}{2}$AD=4，设OP=x，则CO=8-x，由勾股定理得 x²=（8-x）²+4²，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；
（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=$\frac{1}{2}$PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=$\frac{1}{2}$QB，
再求出EF=$\frac{1}{2}$PB，由（1）中的结论求出PB，即可判断．

解答 解：（1）①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠DPA+∠DAP=90°，
∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，
∴∠DPA+∠CPO=90°，
∴∠DAP=∠CPO，
又∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA；
②如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴$\frac{OP}{PA}$=$\frac{CP}{DA}$=$\sqrt{\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
∴CP=$\frac{1}{2}$AD=4，
设OP=x，则CO=8-x，
在Rt△PCO中，∠C=90°，
由勾股定理得 x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
∴AB=AP=2OP=10，
∴边AB的长为10；

（2）结论：线段EF的长度不发生变化．EF=2$\sqrt{5}$．
理由：如图2中，作MQ∥AN，交PB于点Q，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ，
∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ=$\frac{1}{2}$PQ．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QFM=∠NFB}\\{∠QMF=∠BNF}\\{MQ=BN}\end{array}\right.$，
∴△MFQ≌△NFB（AAS），
∴QF=FB，
∴QF=$\frac{1}{2}$QB，
∴EF=EQ+QF=$\frac{1}{2}$PQ+$\frac{1}{2}$QB=$\frac{1}{2}$PB，
由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴PB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4 $\sqrt{5}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$PB=2 $\sqrt{5}$，
∴当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2 $\sqrt{5}$．

点评 此题考查了相似形综合题、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，