Question

如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，连AC．
（1）若AC=PC，求证：AP=

3

AC；
（2）若sin∠APC=

5

13

，求tan∠ABC．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）连结OC，如图1，由AC=PC得到∠A=∠P，再根据三角形外角性质得∠POC=2∠A=2∠P，接着利用切线的性质得到∠PCO=90°，则可计算出∠P=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系有OP=2OC，PC=

3

OC，而AP=OA+OP=3OC，所以AP：PC=

3

：1，于是得到AP=

3

AC；
（2）作CH⊥OP于H，连结OC，如图2，根据切线性质得∠PCO=90°，在Rt△POC中，利用正弦的定义得到sin∠OPC=

OC

OP

=

5

13

，则可设OC=5x，OP=13x，于是利用勾股可计算出PC=12x，再利用面积法计算出CH=

60

13

x，接着在Rt△OCH中利用勾股定理计算出OH=

25

13

x，则BH=OB-OH=

40

13

x，然后在Rt△HCB中，根据正切的定义可得tan∠HBC=

3

2

，即tan∠ABC=

3

2

．

解答：（1）证明：连结OC，如图1，
∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
而∠POC=∠A+∠ACO，
∴∠POC=2∠A=2∠P，
∵PC切⊙O于点C，
∴∠PCO=90°，
∴∠POC+∠P=90°，
∴∠P=30°，
∴OP=2OC，PC=

3

OC，
∴AP=OA+OP=3OC，
∴AP：PC=

3

：1，
而AC=PC，
∴AP=

3

AC；
（2）解：作CH⊥OP于H，连结OC，如图2，
∵PC切⊙O于点C，
∴∠PCO=90°，
在Rt△POC中，sin∠OPC=

OC

OP

=

5

13

，
设OC=5x，则OP=13x，
∴PC=

OP2-OC2

=12x，
∵

1

2

CH•OP=

1

2

OC•PC，
∴CH=

5x•12x

13x

=

60

13

x，
在Rt△OCH中，OH=

OC2-CH2

=

25

13

x，
∴BH=OB-OH=5x-

25

13

x=

40

13

x，
在Rt△HCB中，tan∠HBC=

CH

BH

=

60 13 x

40 13 x

=

3

2

，
即tan∠ABC=

3

2

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理．