题目内容
8．如图1，已知矩形ABCD的宽AD=8，点E在边AB上，P为线段DE上一动点（点P与点D、E不重合），∠MPN=90°，M、N分别在直线AB、CD上，过点P作直线HK∥AB，作PF⊥AB，垂足为点F，过点N作NG⊥HK，垂足为点G．（1）求证：∠MPF=∠GPN；
（2）在图1中，将直角∠MPN绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察，猜想：当MF=NG时，△MPN是什么特殊三角形？在图2中用直尺画出图形，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当∠EDC=30°时，设EP=x，△MPN的面积为S，求出S关于x的解析式，并说明S是否存在最小值？若存在，求出此时x的值和△MPN面积的最小值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据同角的余角相等即可证得；
（2）证明直角△MFP≌△直角△NGP，则MP=NP，则以点P、M、N为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）利用三角函数可得PF=$\frac{x}{2}$，直角△PMF中利用勾股定理即可用x表示出PM的长，则面积S即可表示成x的函数，利用函数的性质即可求得最值．
解答 解：（1）∵直线HK∥AB，PF⊥AB，
∴PF⊥HK，
∴∠MDF+∠MPG=∠MPG+∠GPM=90°，
∴∠MPF=∠GPN；
（2）以点P、M、N为顶点的三角形是等腰三角形，
证明：∵MF=NG，∠MFP=∠NGP=90°，
由（1）得∠MPF=∠GPN，
∴△MFP和△NGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPF=∠GPN}\\{∠MFP=∠NGP}\\{MF=NG}\end{array}\right.$，
∴△MFP≌△△NGP，
∴MP=NP，则△MPN是等腰三角形；
（3）△MPN面积存在最小值，此时x=8，S的最小值是16．
∵∠EDC=30°，∠PEF=30°，EP=x，
∴PF=$\frac{x}{2}$，
根据题意得：PF+NG=8，
∴NG=8-$\frac{x}{2}$，
由（2）可得MF=NG=8-$\frac{x}{2}$，
在直角△PMF中，PF2+MF2=PM2，
则PM2=（$\frac{x}{2}$）2+（8-$\frac{x}{2}$）2=$\frac{{x}^{2}}{2}$-8x+6，
∵△MPN的面积是S=$\frac{1}{2}$PM2，
∴S=$\frac{1}{2}$PM2=$\frac{{x}^{2}}{4}$-4x+32=$\frac{1}{4}$（x-8）2+16，
又∵0＜x＜16，
∴当x=8时，△MPN的面积S的最小值是16．
点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，以及利用二次函数的性质求最值，正确利用x表示出面积S是本题的关键．
如图，抛物线与x轴交于点A（-$\frac{1}{3}$，0），点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，2），请在图中画出线段AB，并画出线段AB绕点O顺时针旋转90°后的图形．| A． | 2 | B． | -3 | C． | 3 | D． | -2 |