如图1.已知矩形ABCD的宽AD=8.点E在边AB上.P为线段DE上一动点.∠MPN=90°.M.N分别在直线AB.CD上.过点P作直线HK∥AB.作PF⊥AB.垂足为点F.过点N作NG⊥HK.垂足为点G．(1)求证:∠MPF=∠GPN,(2)在图1中.将直角∠MPN绕点P顺时针旋转.在这一过程中.试观察.猜想:当MF=NG时.△MPN是什么特殊三角形?在图2中用直尺画出图形.并证明你� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．如图1，已知矩形ABCD的宽AD=8，点E在边AB上，P为线段DE上一动点（点P与点D、E不重合），∠MPN=90°，M、N分别在直线AB、CD上，过点P作直线HK∥AB，作PF⊥AB，垂足为点F，过点N作NG⊥HK，垂足为点G．
（1）求证：∠MPF=∠GPN；
（2）在图1中，将直角∠MPN绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察，猜想：当MF=NG时，△MPN是什么特殊三角形？在图2中用直尺画出图形，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当∠EDC=30°时，设EP=x，△MPN的面积为S，求出S关于x的解析式，并说明S是否存在最小值？若存在，求出此时x的值和△MPN面积的最小值；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据同角的余角相等即可证得；
（2）证明直角△MFP≌△直角△NGP，则MP=NP，则以点P、M、N为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）利用三角函数可得PF=$\frac{x}{2}$，直角△PMF中利用勾股定理即可用x表示出PM的长，则面积S即可表示成x的函数，利用函数的性质即可求得最值．

解答解：（1）∵直线HK∥AB，PF⊥AB，
∴PF⊥HK，
∴∠MDF+∠MPG=∠MPG+∠GPM=90°，
∴∠MPF=∠GPN；
（2）以点P、M、N为顶点的三角形是等腰三角形，
证明：∵MF=NG，∠MFP=∠NGP=90°，
由（1）得∠MPF=∠GPN，
∴△MFP和△NGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPF=∠GPN}\\{∠MFP=∠NGP}\\{MF=NG}\end{array}\right.$，
∴△MFP≌△△NGP，
∴MP=NP，则△MPN是等腰三角形；
（3）△MPN面积存在最小值，此时x=8，S的最小值是16．
∵∠EDC=30°，∠PEF=30°，EP=x，
∴PF=$\frac{x}{2}$，
根据题意得：PF+NG=8，
∴NG=8-$\frac{x}{2}$，
由（2）可得MF=NG=8-$\frac{x}{2}$，
在直角△PMF中，PF²+MF²=PM²，
则PM²=（$\frac{x}{2}$）²+（8-$\frac{x}{2}$）²=$\frac{{x}^{2}}{2}$-8x+6，
∵△MPN的面积是S=$\frac{1}{2}$PM²，
∴S=$\frac{1}{2}$PM²=$\frac{{x}^{2}}{4}$-4x+32=$\frac{1}{4}$（x-8）²+16，
又∵0＜x＜16，
∴当x=8时，△MPN的面积S的最小值是16．