Question

已知△ABC的三个顶点在圆O上（∠BAC是钝角），高AD、BE相交于点H，直线AD交圆O于点F，求证：DH=DF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：证明题

分析：连接BF，利用同角的余角相等得到∠H=∠C，再利用同弧所对的圆周角相等及对顶角相等得到两对角相等，进而确定出∠H=∠F，再由一对直角相等，BD为公共边，利用AAS得到三角形HDB与三角形FDB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．

解答：证明：连接BF，
∵∠HBC+∠H=90°，∠C+∠HBC=90°，
∴∠H=∠C，
∵∠C=∠F，
∴∠H=∠F，
在△HDB和△FBD中，

∠H=∠F ∠BDH=∠BDF=90° BD=BD

，
∴△HDB≌△FDB（AAS），
∴DH=DF．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及圆周角定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．