Question

14．函数y=$\sqrt{{x}^{2}+2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+5}$的最小值为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 把原式化为y=$\sqrt{（x+1）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-1）^{2}}$，y 为 动点（x，0）到 A（-1，2）和B（2，1）的距离之和，作点A关于x轴对称点点C（-1，-2），连接BC交x轴于点D，D点坐标即为所求的x，求出直线BC的解析式，并求出与x轴的交点的横坐标，代入原式即可．

解答 解：∵y=$\sqrt{{x}^{2}+2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+5}$=$\sqrt{（x+1）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-1）^{2}}$，
∴y 为 动点（x，0）到 A（-1，2）和B（2，1）的距离之和，
作点A关于x轴对称点点C（-1，-2），连接BC交x轴于点D，
D点坐标即为所求的x，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B，C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2=-k+b}\\{1=2k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴y=x-1，
令y=0，则x=1，
把x=1代入原式得 最小值为$\sqrt{8}$+$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了轴对称-路径最短问题，用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握利用对称轴求路径最短问题是解决问题的关键．