Question

在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（2，0），（3，

3

），（1，

3

），点D、E的坐标分别为（m，

3

m），（n，

3

3

n）（m、n为非负数），则CE+DE+DB的最小值是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：根据点D、E的坐标分别为（m，

3

m），（n，

3

3

n）（m、n为非负数），可知直线OD，直线OE的解析式，分别找到点C关于直线OE的对称点C′，点B关于直线OF的对称点B′，连接C′B′，交OD于D，交OE于E，此时CE+DE+BD的值最小，求出CE+DE+BD=C′B′，根据两点间的距离公式求出即可．

解答：解：如图所示：
∵点D、E的坐标分别为（m，

3

m），（n，

3

3

n）（m、n为非负数），
∴直线OD的解析式为y=

3

x，直线OE的解析式y=

3

3

x，
设点C关于直线OE的对称点C′所在直线CC′的解析式为y=-

3

x+b，
把C的坐标（1，

3

）代入可得-

3

+b=

3

，解得b=2

3

，
故直线CC′的解析式为y=-

3

x+2

3

，
联立直线OE的解析式和直线CC′的解析式可得

y= 3 3 x y=- 3 x+2 3

，
解得

x=1.5 y= 3 2

．
故交点坐标为（1.5，

3

2

），
∴点C′坐标为（2，0），
设点B关于直线OD的对称点B′所在直线BB′的解析式为y=-

3

3

x+b′，
把B的坐标（3，

3

）代入可得-

3

+b′=

3

，解得b′=2

3

，
故直线BB′的解析式为y=-

3

3

x+2

3

，
联立直线OD的解析式和直线BB′的解析式可得

y= 3 x y=- 3 3 x+2 3

，
解得

x=1.5 y= 3 3 2

，
故交点坐标为（1.5，

3 3

2

），
∴点B′坐标为（0，2

3

），
则B′C′=

22+(2 3 )2

=4，即CE+DE+DB的最小值是4．
故答案为：4．

点评：本题考查了轴对称-最短路线，两点间的距离公式的应用，关键是找出符合条件的点D和E的位置．