Question

【题目】如图所示，△ABC为Rt△，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E为边AC上的点，连结DE，过点E作EF⊥ED交BC于F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，已知AC＝8．

（1）如图1所示，当BC＝6，点G在边AB上时，求DE的长．

（2）如图2所示，若，点G在边BC上时，求BC的长．

（3）①若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求BC的长．

②若（n为正整数），且点G恰好落在Rt△ABC的边上，请直接写出BC的长．

Answer 1

【答案】（1）DE＝；（2）BC＝4．（3）①BC＝2，BC＝8-16，②BC＝或．

【解析】

（1）利用关系式tan∠A＝，即可解决问题．

（2）如图2中，设DE＝x，则EF＝EC＝2x．证明AE＝EC，BC＝2DE即可解决问题．

（3）①分点G在BC或AB上两种情形分别求解．②解法类似①．

（1）如图1中，

在Rt△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，

∴AB＝＝10，

∵D是AB中点，

∴AD＝DB＝5，

∵∠A＝∠A，

∴tan∠A＝，

∴，

∴．

（2）如图2中，设DE＝x，则EF＝EC＝2x．

∵DE∥BC，AD＝DB，

∴AE＝EC＝2x，

∴4x＝8，

∴x＝2，

∴DE＝BC，

∴BC＝2DE＝4．

（3）①当点G落在BC边上时，如图2中，设DE＝x，则EF＝EC＝4x，

可得：AE＝EC＝4x，8x＝8，

∴x＝1，

∴BC＝2DE＝2．

当点G落在AB边上时，

作DH⊥AC于H，设DH＝x，则CE＝4x，BC＝2x，EH＝4﹣4x，

利用△HDE∽△CAB，可得，解得，则．

②若（n为正整数）时，同法可知：或．