Question

如图所示，在等腰△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°
求证：DE²=AD²+BE²．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：证明题

分析：如图，将△ADC绕点C逆时针旋转90°到△CBF的位置；证明∠A=∠ABC=∠CBF=45°，得到EF²=AD²+BE²
证明△DCE≌△FCE，得到DE=EF，故DE²=AD²+BE²．

解答：证明：如图，将△ADC绕点C逆时针旋转90°到△CBF的位置；
则CD=CE，AD=BF；∠BCF=∠ACD，∠CBF=∠A；
∵BC=AC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=∠CBF=45°，
∴∠EBF=90°，EF²=BE²+BF²=AD²+BE²；
∵∠DCE=45°，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°-45°=45°，而∠ACD=∠BCF，
∴∠ECF=∠ECD=45°；在△DCE与△FCE中，

CD=CE ∠DCE=∠FCE CE=CE

，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE=EF，
∴DE²=AD²+BE²．

点评：该题主要考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作旋转变换，将分散的条件集中到某个三角形中．