Question

如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，3），点P是线段OA上的动点（P不与A、O重合），设PO=x，点P到AB的距离PQ为y．
（1）试确定Rt△ABO内切圆I的半径；
（2）求y与x的函数解析式；
（3）试判断以P为圆心，半径为y的圆与⊙I能否相切？若能，请求出相应的x的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）作出正方形FIEO，推出IF=IE=OF=OE，求出半径；
（2）证△AQP∽△AOB，得到

PQ

BO

=

AP

AB

，求出AB，代入求出即可；
（3）根据相切两圆的性质求出PI、PE、IE，根据勾股定理得到方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）∵圆I是△ABO的内切圆，

∴BN=BF，OF=OE，AE=AN，∠IFO=∠IEO=∠O=90°，IE=IF，
∴四边形FIEO是正方形，
∴IF=IE=OF=OE，
∴3-IE+4-IE=5，
解得：IE=1；

（2）∵点A（4，0），B（0，3），
∴在△ABO中AO=4，BO=3，由勾股定理得：AB=5，
∵∠O=90°，PQ⊥AB，
∴∠O=∠PQA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AQP∽△AOB，
∴

PQ

BO

=

AP

AB

，
即

y

3

=

4-x

5

，
解得：y=-

3

5

x+

12

5

，
答：y与x的函数关系式是y=-

3

5

x+

12

5

；

（3）以P为圆心，半径为y的圆与⊙I能相切．
理由是：连接PI过两圆的切点，
当两圆外切时，

PQ=y，PE=x-1，IE=1，PI=1+y，
由勾股定理得：12+(x-1)2=(-

3

5

x+

12

5

+1)2
解得：x1=

-13+15 5

8

，x2=

-13-15 5

8

（舍去）
当两圆内切时，

PQ=y，PE=x-1，IE=1，PI=y-1，
由勾股定理得：12+(x-1)2=(-

3

5

x+

12

5

-1)2
解得：x=

1

4

．
答：以P为圆心，半径为y的圆与⊙I外切时x=

-13+15 5

8

，内切时x=

1

4

．

点评：本题主要考查对勾股定理，相切两圆的性质，切线的性质，正方形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线长定理，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．