Question

如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF为梯形ABCD的中位线，DH为梯形的高，且交EF于G点，下列结论正确的有（　　）
①G为EF的中点；②△EFH为等边三角形；③四边形EHCF为菱形；④S_△BEH=

1

2

S_△FCH．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：直角梯形,等边三角形的判定,菱形的判定,梯形中位线定理

专题：

分析：根据梯形中位线得出EF∥BC∥AD，根据矩形性质得出四边形AEGD和四边形EBHG都是矩形，得出AE=BE=DG=GH；求出EF=EH=CH=CF=2，根据菱形的判定推出四边形EHCF是菱形；根据平行线间的距离处处相等得出△EBH边BH上的高和△FCH的边CH上的高相等，根据BH=1和CH=2即可得出△EBH的面积是△FHC面积的一半．

解答：解：∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，
∴AD∥BH，AB∥DH，∠A=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD=BH=1，AE=DG，
同理BE=HG，
∵AE=BE，
∴DG=GH，
∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF∥AD∥BC，
∴DG=GH，
∵DF=CF，
∴GF=

1

2

CH=

1

2

×（3-1）=1，
∵AE∥DG，AD∥EG，
∴四边形AEGD是平行四边形，
∴AD=EG=1，
∴EG=GF，
∴G为EF的中点，∴①正确；
EF=1+1=2，
在Rt△DHC中，DH=

42-(3-1)2

=2

3

，
∴DG=GH=

3

=BE，
在Rt△EBH中，由勾股定理得：EH=

( 3 )2+12

=2，
∵∠DHC=90°．F为DC中点，
∴HF=

1

2

DC=2，
即EF=EH=HF=2，
∴△EFH是等边三角形，∴②正确；
∵EH=HC=CF=EF=2，
∴四边形EFCH是菱形，∴③正确；
∵EF∥BC，
∴△EBH边BH上的高和△FCH的边CH上的高相等，
∵BH=1，CH=2，
∴△EBH的面积是△FHC面积的一半，∴④正确．
故选D．

点评：本题考查了直角梯形，梯形的中位线，矩形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，三角形的木料，菱形的判定等知识点的应用．