Question

4．设实数x，y满足x²+xy+y²=2，求x²-xy+y²的最大、最小值．

Answer 1

分析 观察可看出未知数的值没有直接给出，而是隐含在题中，需要对所求代数式进行整理然后求解．

解答 解：设x²-xy+y²=A，
∵x²+xy+y²=2，
两式相加可得，2（x²+y²）=2+A，①
两式相减得到：2xy=2-A，②
①+②×2得：2（x²+y²）+4xy=2（x+y）²=6-A≥0，
∴A≤6，
①-②×2得：2（x-y）²=3A-2≥0，
∴A≥$\frac{2}{3}$，
综上：$\frac{2}{3}$≤A≤6，即最大是6，最小值是$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了配方法的应用，完全平方公式，关键是设一个未知数，然后利用完全平方公式相加或相减，再根据平方数非负数的性质得出它的最大值和最小值．