题目内容
9．已知：△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC．（1）如图①AD⊥BC于D，若∠C=70°，∠B=30°，求出∠DAE的度数；
（2）若△ABC中，∠B=α，∠C=β（α＜β），探索∠DAE与α、β间的等量关系，不必说明理由；
（3）如图②所示，在△ABC中AD⊥BC，AE平分∠BAC，F是AE上的任意一点，过F作FG⊥BC于G，且∠B=
30°，∠C=80°，请你运用（2）中结论求出∠EFG的度数；
（4）在（3）的条件下，若F点在AE的延长线上（如图③），其他条件不变，则∠EFG的度数大小发生改变吗？说明理由．
分析 （1）先根据三角形内角和定理得到∠BAC=180°-∠B-∠C，再利用角平分线定义得∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），接着根据垂直定义得到∠AEC=90°，则∠EAC=90°-∠C，所以∠DAE=∠DAC-∠EAC=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B），再把∠C=70°，∠B=30°代入计算即可；
（2）由（1）易得∠DAE=$\frac{1}{2}$（β-α）；
（3）由于∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B），则把∠B=30°，∠C=80°代入可计算出∠DAE=25°，然后根据平行线的性质求解；
（4）根据平行线的性质易得∠EFG=∠EAD=25°．
解答 解：（1）在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），
∵AE⊥BC于E，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC=90°-∠C，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C）-（90°-∠C）=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B），
当∠C=70°，∠B=30°，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$（70°-30°）=20°；
（2）∵∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B），
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$（β-α）；
（3）∵∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B），
而∠B=30°，∠C=80°，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$（80°-30°）=25°，
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴FG∥AD，
∴∠EFG=∠EAD=25°；
（4）∠EFG的度数大小不发生改变．理由如下：
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴FG∥AD，
∴∠EFG=∠EAD=25°．
点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．准确识别图形，即在哪个三角形中运用内角和定理是解题的关键．
如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上由B出发向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点出发向A点运动．设运动时间为t秒．
如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠ECD的度数．
如图所示，△ABC是在2×2的正方形网格中以格点为顶点的三角形，那么图中与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有（ ）| A． | 3个 | B． | 4个 | C． | 5个 | D． | 6个 |
| x（万元） | 1 | 2 |
| yA（万元） | 0.6 | 1.2 |
| yB（万元） | 2.4 | 4.4 |
信息二：如果投资B种产品，所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间满足二次函数关系：yB=ax2+bx．
根据公司信息部报告，yA、yB（万元）与投资金额x（万元）的部分对应值如上表所示：
（1）填空：yA=0.6x； yB=-0.2x2+2.6x；
（2）如果公司准备投资15万元同时开发A、B两种新产品，设公司所获得的总利润为W（万元），B种产品的投资金额为x（万元），试求出W与x之间的函数关系式；
（3）请你设计一个在（2）中公司能获得最大总利润的投资方案．
如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，求△DBC的面积．