题目内容
19．
如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上由B出发向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点出发向A点运动．设运动时间为t秒．（1）若点P的速度3cm/s，用含t的式子表示第t秒时，BP=3tcm，CP=8-3tcm．若点Q运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒钟△BPD与△CQP全等，说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，且点P的速度比点Q的速度慢1cm/s时，点Q的运动速度为多少时？能够使△BPD≌△CPQ？
（3）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以②中的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
分析 （1）根据路程=速度×时间就可以得出结论；
（2）分类讨论，当△BPD≌△CPQ和△BPD≌△CQP时，由全等三角形的性质就可以求出结论；
（3）Q的速度为5厘米/秒，则P的速度为4厘米/秒，就有20+4t=5t就可以求出t的值．
解答 解：（1）由题意，得
BP=3t，
∴PC=8-3t；
故答案为：3t，8-3t
（2）①当BP=PC时，BD=CQ，
∵BP+CP=BC=8，
∴BP=4，
∴t=4/3s CQ=4 不成立．
当BP=CQ时，BD=CP，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AD，
∵AB=10，
∴BD=5，
∴CP=5，
∴BP=3，
∴t=1，故t=1；
②设Q的速度为acm/s，则P的速度为（a-1）cm/s，
∵BP与CQ不相等，
∴BD=CQ，BP=CP，
设运动时间为ts，
∴at=5（a-1）t=4，
∴t=1s a=5cm/s；
（3）由②知Q的速度是5cm/s，P速度是4cm/s，设经过t秒点Q与点P第一次相遇．
∴20+4t=5t，
∴t=20，
当t=20s时，点Q从点出发运动100米，
∴点Q与点P第一次在△ABC的边AB上相遇．
点评 本题考查了动点问题在实际生活中的运用，全等三角形的性质的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键．
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