Question

12．已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（-6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点．经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，连接DE，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；
（3）如图②，连接AD，点F是抛物线上A、C之间的一点，直线BF交AD于点P，连接PE，试探索BP+PE是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并直接写出此时点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=ax²+bx+8经过点A（-6，0），B（4，0），列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可；
（2）作DM⊥抛物线的对称轴于点M，设G点的坐标为（-1，n），在Rt△GDM中，利用勾股定理的知识求出n的值，进而求出点G的坐标；
（3）首先求出AC的长，结合题意得到BP+PE=CP+PE，C、P、E应三点共线，要使CP+PE的值最小，则应CE⊥AB，据此解答即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+8经过点A（-6，0），B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+8=0}\\{16a+4b+8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式是：y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8；
（2）如图①，作DM⊥抛物线的对称轴于点M，

设G点的坐标为（-1，n），
由翻折的性质，可得BD=DG，
∵B（4，0），C（0，8），点D为BC的中点，
∴点D的坐标是（2，4），
∴点M的坐标是（-1，4），DM=2-（-1）=3，
∵B（4，0），C（0，8），
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴BD=2$\sqrt{5}$，
在Rt△GDM中，
3²+（4-n）²=20，
解得n=4±$\sqrt{11}$，
∴G点的坐标为（-1，4+$\sqrt{11}$）或（-1，4-$\sqrt{11}$）；

（3）易知OA=6，OB=4，OC=8，
∴AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，AB=10，
∴AC=AB，
∵D是BC的中点，
∴AD⊥BC，则AD是BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴BP+PE=CP+PE，
∵BP+PE的值要最小，
∴C、P、E应三点共线，要使CP+PE的值最小，则应CE⊥AB，
此时点E与点O重合，
∴CP+PE的最小值应等于OC，
∵OC=8，
即BP+PE的最小值是8，
直线AD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+3，
直线BF的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x+8}\\{y=-\frac{3}{4}x+3}\end{array}\right.$（x＜0），
解得x=-$\frac{15}{4}$，y=$\frac{93}{16}$，
此时F点坐标（-$\frac{15}{4}$，$\frac{93}{16}$）．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，此题涉及到待定系数法求二次函数解析式、翻折性质、勾股定理以及三点共线等知识，解答（2）问的关键是求出BD的长，解答（3）问的关键是得到要使CP+PE的值最小，则应CE⊥AB，此题有一定的难度．