Question

20．两张长为5宽为1的纸条交叉重叠在一起．
（1）请判别重叠部分四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）当∠ABC=60°时，求重叠部分图形的最大面积．

Answer 1

分析 （1）过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB=BC的长，判定四边形ABCD是菱形；
（2）由三角函数求出菱形的边长，即可得出结果．

解答 解：（1）四边形ABCD是菱形；理由如下：
过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴AE=AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S_?ABCD=BC•AE=CD•AF．
又∵AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）∵BC=AB=$\frac{AE}{sin∠ABC}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴四边形ABCD的面积=BC•AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×1=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
即重叠部分图形的最大面积为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题考查了菱形的判定与性质、三角函数、菱形面积的计算方法．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．