Question

6．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+$\frac{1}{2}PC$的最小值和PC-$\frac{1}{2}PC$的最大值；
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+$\frac{2}{3}PC$的最小值为$\sqrt{106}$，PD-$\frac{2}{3}PC$的最大值为$\sqrt{106}$．
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+$\frac{1}{2}PC$的最小值为$\sqrt{37}$，PD-$\frac{1}{2}PC$的最大值为$\sqrt{37}$．

Answer 1

分析 （1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出$\frac{PG}{PC}$=$\frac{BG}{PB}$=$\frac{1}{2}$，推出PG=$\frac{1}{2}$PC，推出PD+$\frac{1}{2}$PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+$\frac{1}{2}$PC的值最小，最小值为DG=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．由PD-$\frac{1}{2}$PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-$\frac{1}{2}$PC的值最大（如图2中），最大值为DG=5；
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．解法类似（1）；
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．解法类似（1）；

解答 解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．

∵$\frac{PB}{BG}$=$\frac{2}{1}$=2，$\frac{BC}{PB}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴$\frac{PB}{BG}$=$\frac{BC}{PB}$，∵∠PBG=∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{BG}{PB}$=$\frac{1}{2}$，
∴PG=$\frac{1}{2}$PC，
∴PD+$\frac{1}{2}$PC=DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+$\frac{1}{2}$PC的值最小，最小值为DG=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
∵PD-$\frac{1}{2}$PC=PD-PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD-$\frac{1}{2}$PC的值最大（如图2中），最大值为DG=5．


（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．

∵$\frac{PB}{BG}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{PB}$=$\frac{9}{6}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{PB}{BG}$=$\frac{BC}{PB}$，∵∠PBG=∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{BG}{PB}$=$\frac{2}{3}$，
∴PG=$\frac{2}{3}$PC，
∴PD+$\frac{2}{3}$PC=DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+$\frac{2}{3}$PC的值最小，最小值为DG=$\sqrt{{5}^{2}+{9}^{2}}$=$\sqrt{106}$．
∵PD-$\frac{2}{3}$PC=PD-PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD-$\frac{1}{2}$PC的值最大，最大值为DG=$\sqrt{106}$．
故答案为$\sqrt{106}$，$\sqrt{106}$

（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．

∵$\frac{PB}{BG}$=$\frac{2}{1}$=2，$\frac{BC}{PB}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴$\frac{PB}{BG}$=$\frac{BC}{PB}$，∵∠PBG=∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{BG}{PB}$=$\frac{1}{2}$，
∴PG=$\frac{1}{2}$PC，
∴PD+$\frac{1}{2}$PC=DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+$\frac{1}{2}$PC的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，
∴DF=CD•sin60°=2$\sqrt{3}$，CF=2，
在Rt△GDF中，DG=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（5）^{2}}$=$\sqrt{37}$
∵PD-$\frac{1}{2}$PC=PD-PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD-$\frac{1}{2}$PC的值最大（如图2中），最大值为DG=$\sqrt{37}$．
故答案为$\sqrt{37}$，$\sqrt{37}$．

点评 本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．