Question

1．如图，正方形ABCD的边长为2，以点B为原点，BC和AB所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点D在第一象限．点E是DC边的中点，P（不与A重合）是AD边上的一动点，设以点P为顶点的抛物线经过点B．
（1）当抛物线经过C时，求抛物线的解析式；
（2）在点P的运动过程中，设抛物线与x轴的另一交点为F，BF•AP的值是否发生变化？证明你的结论；
（3）联结PB，PE，在点P运动时，是否存在点P满足PB平分∠APE？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，求出点P的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）结论：BF•AP的值是变化的．如图2中，作PH⊥BF于H．设P（m，2）．由题意可得BF•AP=2m•m=2m²，由此即可判断．
（3）存在．如图3中，作OH⊥PE于H，连接OE．假设OP平分∠APE，由AO⊥AP，OH⊥PE，推出OA=OH=OC，由OE=OE，OP=OP，推出Rt△OEH≌Rt△OEC，Rt△OPA≌Rt△OPH，推出PA=PH，EH=EC=1，设PA=PH=x，在Rt△PDE中，根据PE²=PD²+DE²，可得（x+1）²=（2-x）²+1²，解方程即可．

解答 解：（1）如图1中，

当抛物线经过C时，
∵点P是抛物线的顶点，抛物线经过点B、C，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
∴PB=PC，
在Rt△PBA和Rt△PCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PC}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△PBA≌Rt△PCD，
∴PA=PD=1，
∴P（1，2）
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+2，把（0，0）代入得到a=-2，
∴抛物线的解析式为y=-2（x-1）²+2．

（2）结论：BF•AP的值是变化的．理由如下：
如图2中，作PH⊥BF于H．设P（m，2）．

∵∠PAO=∠AOH=∠PHO=90°，
∴四边形APHO是矩形，
∴PA=OH=HF=m，
∴BF=2m，PA=m，
∴BF•AP=2m•m=2m²，
∴BF•AP的值随x的变化而变化．

（3）存在．理由如下，
如图3中，作OH⊥PE于H，连接OE．

假设OP平分∠APE，∵AO⊥AP，OH⊥PE，
∴OA=OH=OC，∵OE=OE，OP=OP，
∴Rt△OEH≌Rt△OEC，Rt△OPA≌Rt△OPH，
∴PA=PH，EH=EC=1，设PA=PH=x，
在Rt△PDE中，∵PE²=PD²+DE²，
∴（x+1）²=（2-x）²+1²，
∴x=$\frac{2}{3}$，
∴p（$\frac{2}{3}$，2）．

点评 本题考查二次函数综合题、正方形的性质、角平分线的性质定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用勾股定理构建方程，属于中考压轴题．