Question

9．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是边长为6的等边三角形，直线l与x轴、OA、AB分别交于点C、D、E，OC=AE．过点E作EF∥OA，交x轴于点F．
（1）点A的坐标为（3，3$\sqrt{3}$）（结果保留根号）
（2）求证：CO=OF；
（3）若AD=EF，求直线l对应的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AM⊥OB于M．求出OM、AM即可解决问题．
（2）如图2中，作EN∥OB交OA于N．首先证明△AEN是等边三角形，再证明四边形ONEF是平行四边形即可解决问题．
（3）首先证明AN=OD=DN=AE=2，推出D（1，$\sqrt{3}$），E（4，2$\sqrt{3}$），设直线l的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=\sqrt{3}}\\{4k+b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解方程组即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作AM⊥OB于M．

∵OA=AB，AM⊥OB，
∴OM=BM=3，AM=$\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴点A坐标为（3，3$\sqrt{3}$）．
故答案为（3，3$\sqrt{3}$）

（2）如图2中，作EN∥OB交OA于N．

∵△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
∵EN∥OB，
∴∠ANE=∠AOB=60°，∠AEN=∠ABO=60°，∠DNE=∠COD，
∴△AEN是等边三角形，
∴AE=EN=CO，
∵EN∥OF，EF∥ON，
∴四边形ONEF是平行四边形，
∴OF=EN=OC，
∴CO=OF．

（3）如图2中，在△DNE和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DNE=∠DOC}\\{∠NDE=∠ODC}\\{EN=OC}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△DOC，
∴DN=OD，
∵AD=EF=ON，
∴AN=OD=DN=AE=2，
∴D（1，$\sqrt{3}$），E（4，2$\sqrt{3}$），设直线l的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=\sqrt{3}}\\{4k+b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查一次函数的应用、等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．