Question

4．如图甲所示，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过．点E作EF⊥DE，交直线BC于点F．
（1）求证：CD=CF；
（2）若CD=2，求EF的长；
（3）若改变点D、E的位置，使点D在BC的延长线上，点E在AC的延长线上，其他条件与（1）相同，请画出图形（如图乙所示），探究CD=CF还成立吗？（只回答，不证明）．

Answer 1

分析 （1）利用平行线判断出△EDC是等边三角形，得出CD=CE，∠CDE=∠CED=60°，再用直角和三角形的外角即可得出CE=CF，即可；
（2）利用含30°的直角三角形的性质即可得出结论；
（3）同（1）的方法直接证明．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∴△EDC是等边三角形，
∴CD=CE，∠CDE=∠CED=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠CEF=30°，
∵∠F=∠ACB-∠CEF=60°-30°=30°，
∴CE=CF，
∴CD=CF
（2）∵△EDC是等边三角形
∴DE=DC=2，
在Rt△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=2，
∴DF=2DE=4，
∴EF=$\sqrt{D{F}^{2}-D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
（3）CD=CF还成立，
理由：如图乙，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∴△EDC是等边三角形，
∴CD=CE，∠CDE=∠CED=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠CEF=30°，
∵∠DFE=∠DCE-∠CEF=60°-30°=30°，
∴CE=CF，
∴CD=CF．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，勾股定理，判断出△EDC是等边三角形是解本题的关键．