Question

【题目】在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN的两边分别与AB，AC相交于M，N两点，且DM=DN.

（1）如图甲，若∠C=90°，∠BAC=60°，AC=9，∠MDN=120°，ND∥AB.

①写出∠MDA= °，AB的长是 .

②求四边形AMDN的周长；

（2）如图乙，过D作DF⊥AC于F，先补全图乙再证明AM+AN=2AF.

Answer 1

【答案】（1）①90，18；②30；（2）详见解析.

【解析】

（1）①先根据角平分线的定义可求出∠BAD的度数，再利用平行线的性质求出∠ADN的度数，进而可得∠MDA的度数；易求得∠B=30°，然后利用30°角的直角三角形的性质即可求出AB的长；

②易求得∠ADN=∠DAN=∠CDN=30°，然后利用30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定可得DN=2CN，AN=DN，进一步可得AC=3CN，即可求出CN的长，进而可求AN、DN的长，而由已知MD=ND，所以MD可得，然后在直角△AMD中利用30°角的直角三角形的性质即可求出AM的长，问题即得解决；

（2）过点D作DG⊥AB于G，由HL分别证明Rt△ADG≌Rt△ADF和Rt△DFN≌Rt△DGM，得MG＝NF，AG＝AF，再把AM+AN变形即可得出结论．

解：（1）①∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠BAD=∠CAD=30°，

∵ND∥AB，∴∠ADN=∠BAD=30°，

∵∠MDN=120°，∴∠MDA=90°；

∵∠C=90°，∠BAC=60°，∴∠B=30°，

∵AC=9，∴AB=18；

故答案为：90，18；

②在△ACD中，∵∠C=90°，∠CAD=30°，∴∠ADC=60°，

∵∠ADN=30°，∴∠CDN=30°，∠ADN=∠DAN，∴DN=2CN，AN=DN，

∵AC=9，∴AN+CN=2CN+CN=9，解得：CN=3，∴AN=DN=6，

∵DM=DN，∴DM=6，

∵∠MDA=90°，∠BAD =30°，∴AM=2MD=12，

∴四边形AMDN的周长=AM+MD+DN+NA=12+6+6+6=30；

（2）补全图乙如图1，证明：过点D作DG⊥AB于G，如图2所示：

∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴DF＝DG，

在Rt△ADG和Rt△ADF中，，

∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL），∴AG＝AF，

在Rt△DFN和Rt△DGM中，，

∴Rt△DFN≌Rt△DGM（HL），∴NF＝MG，

又∵AG＝AF，

∴AM+AN＝AG+MG+AN＝AF+NF+AN＝AF+AF＝2AF．