Question

【题目】如图，在中，，，的重直平分线交，于点，.

（1）求证：；

（2）当时，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

(1)首先连接BE，由在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而可求得∠CBE的度数，然后由含30°角的直角三角形的性质，证得AE=2CE．(2) △ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，,推出AE=2，从而求出AC的长，再根据勾股定理求出BC的长，即可求出的面积.

如图，连接BE，

∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=90°-∠A=60°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴∠ABE=∠A=30°，

∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，

在Rt△BCE中，BE=2CE，

∴AE=2CE．

(2)∵△ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，，∴AE=2，

∵，∴CE=1，AC=3，

设BC=x，则AB=2x，

∴

∴BC= ，

∴.