Question

【题目】如图，已知抛物线过点，过定点 的直线:与抛物线交于、两点，点在点的右侧，过点作轴的垂线，垂足为.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点在x轴上运动，连接，作的垂直平分线与过点D作x轴的垂线交于点，判断点是否在抛物线上，并证明你的判断；

（3）若，设的中点为，抛物线上是否存在点，使得周长最小，若存在求出周长的最小值，若不存在说明理由；

（4）若，在抛物线上是否存在点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在，理由详见解析；（3）存在，;（4）存在， 或或

【解析】

（1）抛物线过点，利用待定系数法即可求解；

（2）设I的坐标为 ，过I作IH⊥y轴于点H，由点I在线段DF的垂直平分线上，求得ID=IF=y，在Rt中，利用勾股定理计算，求得得点I的坐标为，从而说明点在抛物线上；

（3）先求得的中点M的坐标为，作PN⊥轴于点N，利用(2)的结论：抛物线上的点到点F的距离等于它到轴的距离，当三点共线时，周长最小，即可求得答案；

（4）作QR⊥轴于点D，交AB于点R，先求得直线的解析式和点的坐标，利用三角形面积公式求得，再求得，设点的坐标为：，则点的坐标为：，则，解方程即可求得点的坐标．

（1）∵抛物线过点，

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）在，理由如下：

设I的坐标为 ，过I作IH⊥y轴于点H，如图：

则，，

∵点I在线段DF的垂直平分线上，

∴ID=IF=y，

在Rt中，，

∴，

化简得：，

∴点I在抛物线上；

（3）存在，理由如下：

若，设的中点为，

，

消去y得：，

∴点M的横坐标为：，

纵坐标为：，

∴点M的坐标为：，

由(2)可知：抛物线上的点到点F的距离等于它到轴的距离，

设抛物线上存在点P，使得周长最小，

过点P作PN⊥轴于点N，如图：

∵，

由于是定值，，

∴当三点共线，即⊥轴于点N时，周长最小，

此时点的坐标为：，，

，

∴周长最小值为：；

（4）存在，理由如下：

过点Q作QR⊥轴于点D，交AB于点R，如图，

将代入得：，

∴直线的解析式为：，

解得：，，

∴点的坐标为：，

，

∵的面积为，

∴，

∴，

设点的坐标为：，则点的坐标为：，

∴，

当时，

解得：，此时点的坐标为：，

当时，即，

，

解得：或，此时点的坐标为：或，

综上：满足条件的点为： 或或．