Question

如图，直线y=-

4

3

x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？
（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）分别令y=0，x=0求解即可得到点A、B的坐标；
（2）利用勾股定理列式求出AB，然后表示出AP、AQ，再利用∠OAB的正弦求出点Q到AP的距离，然后利用三角形的面积列式整理即可得解；
（3）根据相似三角形对应角相等，分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况，利用∠OAB的余弦列式计算即可得解．

解答：解：（1）令y=0，则-

4

3

x+8=0，
解得x=6，
x=0时，y=y=8，
∴OA=6，OB=8，
∴点A（6，0），B（0，8）；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

62+82

=10，
∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，
∴AP=2t，
AQ=AB-BQ=10-t，
∴点Q到AP的距离为AQ•sin∠OAB=（10-t）×

8

10

=

4

5

（10-t），
∴△AQP的面积S=

1

2

×2t×

4

5

（10-t）=-

4

5

（t²-10t）=-

4

5

（t-5）²+20，
∵-

4

5

＜0，0＜t≤3，
∴当t=3时，△AQP的面积最大，S_最大=-

4

5

（3-5）²+20=

84

5

；

（3）若∠APQ=90°，则cos∠OAB=

AP

AQ

，
∴

2t

10-t

=

6

10

，
解得t=

30

13

，
若∠AQP=90°，则cos∠OAB=

AQ

AP

，
∴

10-t

2t

=

6

10

，
解得t=

50

11

，
∵0＜t≤3，
∴t的值为

30

13

，
此时，OP=6-2×

30

13

=

18

13

，
PQ=AP•tan∠OAB=（2×

30

13

）×

8

6

=

80

13

，
∴点Q的坐标为（

18

13

，

80

13

），
综上所述，t=

30

13

秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，此时点Q的坐标为（

18

13

，

80

13

）．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，三角形的面积，二次函数的最值问题，相似三角形对应角相等的性质，锐角三角函数，（2）要注意根据t的取值范围求三角形的面积的最大值，（3）难点在于要分情况讨论．