Question

17．对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），设△=b²-4ac，x₁，x₂是方程的两个实数根，且x₁≤x₂
（1）填空：

一元二次方程	△	x1	x2
①x2-3x+2=0	1	1	2
②x2-10x+24=0	4	4	6
③x2-21x+108=0	9	9	12

（2）观察上述三个方程的△、x₁、x₂，它们有什么特殊的数量关系？请写出一个类似的方程：x²-36x+320=0
（3）上述方程中每一个方程的△与这个方程的序号之间有什么关系？如果方程的序号用n（n为自然数）表示，那么△=n²．（用n的代数式表示）
同样地，上述方程中每一个方程的两根x₁，x₂与这个方程的序号之间有什么关系？如果方程的序号用n（n为自然数）表示，那么x₁=n²，x₂=n（n+1）．（用n的代数式表示）
因此，上述方程的一般形式为：x²-（2n²+n）x+n³（n+1）=0．

Answer 1

分析 （1）计算△=b²-4ac，因式分解法求得答案即可；
（2）△和x₁相同，都是方程所在序数的平方，x₂是方程所在序数与序数加1的乘积，由此规律得出一个方程即可；
（3）利用（2）的规律得出一般形式即可．

解答 解：（1）填表如下：

一元二次方程	△	x1	x2
①x2-3x+2=0	1	1	2
②x2-10x+24=0	4	4	6
③x2-21x+108=0	9	9	12

（2）△和x₁相同，都是方程所在序数的平方，x₂是方程所在序数与序数加1的乘积，类似的方程：x²-36x+320=0；
（3）每一个方程的△是这个方程的序号的平方，如果方程的序号用n（n为自然数）表示，那么x₁=n²，x₂=n（n+1），因此，上述方程的一般形式为：x²-（2n²+n）x+n³（n+1）=0．

点评 此题考查根的判别式的计算，方程根的变化规律，找出运算的方法与计算的规律是解决问题的关键．