Question

6．如图，抛物线y=ax²+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当CM=MN，且∠CMN=90°时，求此时△CMN的面积．

Answer 1

分析 （1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax²+bx中，求得a、b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）先求得抛物线对称轴为x=2，由点B的坐标可得到点C的坐标，从而得到BC的长，然后依据三角形的面积公式求解即可
（3）过P点作PD⊥BH交BH于点D．设点P（m，-m²+4m），则BH=AH=3，HD=m²-4m，PD=m-1，然后依据S_△ABP=S_△ABH+S_{四边形HAPD}-S_△BPD，列出关于m的方程，从而可求得m的值于是可求得点P的坐标；
（4）①当点M在x轴上方时，先证明三角形△CBM≌△MHN，从而可求得BC=MH=2，BM=1，于是可得到点M，N的坐标，然后依据勾股定理求得MC的长，最后依据三角形的面积公式求解即可；②如图3所示：当点M在x轴下方时，过点M作平行与x轴的直线，然后分别过点N和点C作x轴的垂线，从而可构造出直角三角形Rt△NEM和Rt△MDC，接下来，再证明Rt△NEM≌Rt△MDC，依据全等三角形的性质可得到EM=CD=5，MD=ME=2，然后依据勾股定理可求得CM的长，最后依据三角形的面积公式求解即可．

解答 解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax²+bx中，得$\left\{\begin{array}{l}0=16a+4b\\ 3=a+b\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=4\end{array}\right.$，
∴抛物线表达式为：y=-x²+4x．
（2）抛物线对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=2．
∵点C，B关于抛物线的对称轴对称，点B的坐标为（1，3），
∴点C的坐标为（3，3）．
∴BC=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×3=3．
（3）过P点作PD⊥BH交BH于点D．

设点P（m，-m²+4m），
根据题意得：BH=AH=3，HD=m²-4m，PD=m-1，
∴S_△ABP=S_△ABH+S_{四边形HAPD}-S_△BPD，即6=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（3+m-1）（m²-4m）-$\frac{1}{2}$（m-1）（3+m²-4m）．
整理得：3m²-15m=0，
解得：m₁=0（舍去），m₂=5，
∴点P坐标为（5，-5）．
（4）当CM=MN，且∠CMN=90°时，分情况讨论：
①当点M在x轴上方时，如图2所示：

∵∠CMN=90°，
∴∠BMC+∠NMH=90°．
又∵∠BMC+∠BCM=90°，
∴∠NMH=∠BCM．
在△BCM和△HMN中$\left\{\begin{array}{l}{∠NMH=∠BCM}\\{∠CBM=∠MHN}\\{MC=MN}\end{array}\right.$，
∴△CBM≌△MHN．
∴BC=MH=2，BM=HN=3-2=1，
∴M（1，2），N（2，0），
由勾股定理得：MC=$\sqrt{{2^2}+{1^2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=$\frac{5}{2}$．
②当点M在x轴下方时，如图3所示：构造直角三角形Rt△NEM和Rt△MDC

∵∠NMC=90°，
∴∠NME+∠CMD=90°．
∵∠ENM+∠EMN=90°，
∴∠CMD=∠ENM．
在Rt△NEM和Rt△MDC中$\left\{\begin{array}{l}{∠CMD=∠ENM}\\{∠NEM=∠MDC}\\{MN=MC}\end{array}\right.$
∴Rt△NEM≌Rt△MDC．
∴EM=CD=5，MD=ME=2，
由勾股定理得：CM=$\sqrt{{2^2}+{5^2}}$=$\sqrt{29}$，
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{29}$×$\sqrt{29}$=$\frac{29}{2}$；
综上所述：△CMN的面积为：$\frac{5}{2}$或$\frac{29}{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，作辅助线，构造出全的三角形，求得等腰直角三角形的直角边长是解题的关键．