关于函数y=$\frac{3}{a}$x2+x+1-$\frac{1}{a}$.给出下列结论:①当a=2时.该函数的顶点坐标为(-$\frac{2}{3}$.-$\frac{1}{6}$),②当a≠0时.该函数图象经过同一点,③当a＜0时.函数图象截x轴所得线段长度大于$\frac{4}{3}$,④当a＞0时.函数在x＞$\frac{1}{3}$时.y随x的增大而� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．关于函数y=$\frac{3}{a}$x²+（3-$\frac{2}{a}$）x+1-$\frac{1}{a}$（a≠0），给出下列结论：
①当a=2时，该函数的顶点坐标为（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{6}$）；
②当a≠0时，该函数图象经过同一点；
③当a＜0时，函数图象截x轴所得线段长度大于$\frac{4}{3}$；
④当a＞0时，函数在x＞$\frac{1}{3}$时，y随x的增大而增大．
其中正确的结论有①②③④（填写代号即可）

分析把a=2代入y=$\frac{3}{a}$x²+（3-$\frac{2}{a}$）x+1-$\frac{1}{a}$，再求该函数的顶点坐标即可判断；把x=1代入y=$\frac{3}{a}$x²+（3-$\frac{2}{a}$）x+1-$\frac{1}{a}$=4，从而判定函数图象经过同一点（1，4）；根据与x轴的交点坐标和系数的关系即可判断图象截x轴所得线段长度；通过求得对称轴x=-$\frac{3-\frac{2}{a}}{2×\frac{3}{a}}$=-$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{3}$，即可判断函数的性质．

解答解：把a=2代入y=$\frac{3}{a}$x²+（3-$\frac{2}{a}$）x+1-$\frac{1}{a}$得，y=$\frac{3}{2}$x²+2x+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$（x+$\frac{2}{3}$）²-$\frac{1}{6}$，
∴顶点坐标（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{6}$），故①正确；
把x=1代入y=$\frac{3}{a}$x²+（3-$\frac{2}{a}$）x+1-$\frac{1}{a}$=4，
∴a≠0时，函数y=$\frac{3}{a}$x²+（3-$\frac{2}{a}$）x+1-$\frac{1}{a}$（a≠0）图象一定经过（1，4）点，故②正确；
设函数y=$\frac{3}{a}$x²+（3-$\frac{2}{a}$）x+1-$\frac{1}{a}$（a≠0）的图象与x轴的交点为（x₁，0），（x₂，0），
根据题意：x₁+x₂=-$\frac{3-\frac{2}{a}}{\frac{3}{a}}$=-a+$\frac{2}{3}$，x₁x₂=$\frac{1-\frac{1}{a}}{\frac{3}{a}}$=$\frac{a}{3}$-$\frac{1}{3}$，
∵（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（-a+$\frac{2}{3}$）²-4（$\frac{a}{3}$-$\frac{1}{3}$）=a²-$\frac{8}{3}$a+$\frac{16}{9}$，
当a＜0时，a²-$\frac{8}{3}$a＞0，
∴当a＜0时，∵（x₁-x₂）²＞$\frac{16}{9}$，
∴|x₁-x₂|＞$\frac{4}{3}$，
∴函数图象截x轴所得线段长度大于$\frac{4}{3}$，故③正确；
∵函数y=$\frac{3}{a}$x²+（3-$\frac{2}{a}$）x+1-$\frac{1}{a}$（a≠0）的对称轴x=-$\frac{3-\frac{2}{a}}{2×\frac{3}{a}}$=-$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{3}$，
∴当a＞0时，开口向上，且x＜$\frac{1}{3}$，
∴函数在x＞$\frac{1}{3}$时，y随x的增大而增大，故④正确．
故答案为①②③④．