Question

6．已知AB，BC是平行四边形ABCD的两条邻边，根据要求解答下列各题：
（1）在图1中，用直尺和圆规把该平行四边形补画完整（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若$\widehat{EF}$的长为$\frac{π}{2}$，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）分别以A，C为圆心，以BC，AB的长度为半径画弧，两弧交于一点D，结论AD，CD可得；
（2）由切线的性质和平行四边形的性质得到BA⊥AC，∠ACB=∠B=45°，∠DAC=∠ACB=45°=∠FAE，根据弧长公式求出弧长，得到半径，即可求得结果．

解答 解：（1）如图所示，?ABCD即为所求；                   

（2）如图2所示，∵CD与⊙A相切，
∴CD⊥AC，
在平行四边形ABCD中，
∵AB=DC，AB∥CD，AD∥BC，
∴BA⊥AC，
∵AB=AC
∴∠ACB=∠B=45°，
∵，AD∥BC
∴∠FAE=∠B=45°，∠DAC=∠ACB=45°=∠FAE，
∴$\widehat{EF}$=$\widehat{EC}$，
∴$\widehat{EF}$的长度=$\frac{45πR}{180}$=$\frac{π}{2}$，解得R=2，
∴S_阴影=S_△ACD-S_扇形=$\frac{1}{2}$×2²-$\frac{45π{×}^{22}}{360}$=2-$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了基本作图，切线的性质，平行四边形的性质，弧长的求法，扇形面积的求法，知道S_阴影=S_△ACD-S_扇形是解题的关键．