Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，点D从点B出发，沿B→C方向运动到C（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=30°，DE交线段AC于E．
（1）在点D的运动过程中，若∠BDA=100°，求∠DEC的大小；
（2）在点D的运动过程中，若AB=DC，请证明△ABD≌△DCE；
（3）若BC=6cm，点D的运动速度是1cm/s，运动时间为t（s）．在点D的运动过程中，是否存在这样的t，使得△ADE的形状是直角三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B=30°，根据已知条件得到∠EDC=180°-100°-30°=50°，于是得到∠DEC=180°-50°-30°=100°；
（2）根据三角形的内角和和平角的定义得到∠CED=∠ADB根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（3）根据三角形的内角和得到∠BAC=120°，求得BD=t，CD=6-t，①如图1，当∠DAE=90，则∠BAD=30°，根据直角三角形的性质列方程求得t的值；②如图2，当∠AED=90°时，则∠DAE=60°，根据等腰三角形的性质列方程求得t的值．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∵∠BDA=100°，∠ADE=30°，
∴∠EDC=180°-100°-30°=50°，
∴∠DEC=180°-50°-30°=100°；
（2）∵∠C=30°，
∴∠CED+∠CDE=150°，
∵∠ADE=30°，
∴∠ADB+∠CDE=150°，
∴∠CED=∠ADB，
在△ABD和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠DEC}\\{∠B=∠C}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）存在，∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠BAC=120°，
∵BC=6cm，点D的运动速度是1cm/s，运动时间为t（s），
∴BD=t，CD=6-t，
①如图1，当∠DAE=90，则∠BAD=30°，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD=t，
∵∠C=30°，
∴CD=2AD，即6-t=2t，
∴t=2；
②如图2，当∠AED=90°时，则∠DAE=60°，
∴AD平分∠BAC，
∴BD=CD，
即t=6-t，
∴t=3，
综上所述，当t=2或3时，△ADE的形状是直角三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出图形是解题的关键．