[问题提出]如图1.把一个边长为1的正三角形纸片放在直线l1上.OA边与直线l1重合.然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°.此时点O运动到了点O1处.点B运动到了点B1处,再将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°.点A运动到了点A1处.点O1运动到了点O2处(即顶点O经过上述两次旋转到达O2处).求顶点O经过的路程.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．【问题提出】
如图1，把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB）放在直线l₁上，OA边与直线l₁重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O₁处，点B运动到了点B₁处；再将三角形纸片AO₁B₁绕点B₁按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A₁处，点O₁运动到了点O₂处（即顶点O经过上述两次旋转到达O₂处），求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l₁围成图形的面积．
【问题解决】
三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO₁和弧O₁O₂，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，即$\frac{120π}{180}$+$\frac{120π}{180}$=$\frac{4π}{3}$；这两段圆弧与直线l₁围成的图形面积，等于扇形AOO₁的面积、△AO₁B₁的面积和扇形B₁O₁O₂的面积之和，即$\frac{120π}{360}$+$\frac{1}{2}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}$+$\frac{120π}{360}$=$\frac{2π}{3}$+$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
【类比应用】
如图2，把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l₂上，OA边与直线l₂重合，然后将正方形纸片进行第一次旋转，即绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O₁处（即点B处），点C运动到了点C₁处，点B运动到了点B₁处；再将正方形纸片AO₁C₁B₁进行第二次旋转，即绕点B₁按顺时针方向旋转90°，…，按上述方法经过若干次旋转后．

请你解答下面两个问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l₂围成图形的面积；
（2）若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程．
【拓展应用】
将正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是$\frac{41+20\sqrt{2}}{2}$π？

分析 ①根据正方形旋转3次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可；
②根据正方形旋转5次的路径，利用弧长计算公式求出即可；
【拓展应用】
再利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出$\frac{41-20\sqrt{2}}{2}π$=20（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π+$\frac{π}{2}$，即可得出旋转次数．

解答解：①如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧，
∴顶点O在此过程中经过的路程为：$\frac{90π×1}{180}$×2+$\frac{90π×\sqrt{2}}{180}$=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π，
顶点O在此过程中经过的图形与直线l₂围成的图形面积为：$\frac{90π×{1}^{2}}{360}$×2+$\frac{90π×2}{360}$+2×$\frac{1}{2}$×1=1+π．
②正方形纸片OABC经过5次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：$\frac{9π×1}{180}$×3+$\frac{90π×\sqrt{2}}{180}$=（$\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$）π；
【拓展应用】
正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：$\frac{90π×1}{180}$×2+$\frac{90π×\sqrt{2}}{180}$=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π，
根据第四次正方形旋转时O点不动，也就是此时也是正方形纸片OABC经过4次旋转的路程；
∴$\frac{41-20\sqrt{2}}{2}π$=20（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π+$\frac{π}{2}$，
∴正方形纸片OABC经过了：20×4+1=81次旋转．