Question

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动，保持上述运动过程，经过$（{2015，\sqrt{3}}）$的正六边形的顶点是（　　）

• A． C或E
• B． B或D
• C． A或C
• D． B或F

Answer 1

分析 利用正多边形的性质以及点的坐标性质，即可得出D点坐标，进而连接A′D，过点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，由正六边形的性质得出A′的坐标，再根据每6个单位长度正好等于正六边形滚动一周即可得出结论．

解答 解：∵点A（1，0），B（2，0），
∴OA=1，OB=2，
∴正六边形的边长为：AB=1，
∴当点D第一次落在x轴上时，OD=2+1+1=4，
∴此时点D的坐标为：（4，0）；
如图1所示：
当滚动到A′D⊥x轴时，E、F、A的对应点分别是E′、F′、A′，连接A′D，点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A′F′G=30°，
∴A′G=$\frac{1}{2}$A′F′=$\frac{1}{2}$，
同理可得：HD=$\frac{1}{2}$，
∴A′D=2，
∴在运动过程中，点A的纵坐标的最大值是2；
如图1，∵D（2，0）
∴A′（2，2），OD=2，
∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，
∴从点（2，2）开始到点（2014，$\sqrt{3}$）正好滚动2012个单位长度，
∵$\frac{2013}{6}$=335…3，
∴恰好滚动335周多3个，如图2所示，F′点纵坐标为：3，
∴会过点（2014，$\sqrt{3}$）的是点F，
当点D还是在（2014，0）位置，
则E点在（2015，0）位置，此时B点在D点的正上方，DB=3，所以B点符合题意．
综上所示，经过（2014，$\sqrt{3}$）的正六边形的顶点是B或F．
故选D．

点评 本题考查的是正多边形和圆及图形旋转的性质，根据题意作出辅助线，利用正六边形的性质求出A′点的坐标是解答此题的关键．