Question

3．如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED=45°．
（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADE=$\frac{5}{6}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，则∠AOD=90°，由四边形ABCD是平行四边形，则AB∥DC．从而得出∠CDO=90°，即可证出答案．
（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE根据题意得sin∠ABE=$\frac{5}{6}$，由AB是圆O的直径求出AB的长．再在Rt△ABE中，求得AE即可．

解答 （1）证明：连接OD，则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠CDO=∠AOD=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与圆O相切；

（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE，
∴sin∠ADE=sin∠ABE=$\frac{5}{6}$，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6，
在Rt△ABE中，sin∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{5}{6}$，
∴AE=5．

点评 本题考查了切线的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及圆周角定理，注意辅助线的作法是解此题的关键．