Question

7．一直线截△ABC三边AB、AC、BC或其延长线于点D、E、F，求证：$\frac{AD}{BD}•\frac{BF}{CF}•\frac{CE}{AE}=1$．

Answer 1

分析 过点B作BG‖CA交EF的延长线于G，根据相似三角形的判定定理得到△BGF∽△CEF，△DBG∽△DAE，于是得到比例式$\frac{BF}{CF}$=$\frac{BG}{CE}$，$\frac{CE}{EA}$=$\frac{CE}{EA}$，$\frac{AD}{DB}=\frac{EA}{BG}$，三式相乘即可得到结论．

解答 解：过点B作BG‖CA交EF的延长线于G，
∴△BGF∽△CEF，△DBG∽△DAE，
∴$\frac{BF}{CF}$=$\frac{BG}{CE}$，$\frac{CE}{EA}$=$\frac{CE}{EA}$，$\frac{AD}{DB}=\frac{EA}{BG}$，
三式相乘得：$\frac{BF}{CF}•\frac{CE}{EA}•\frac{AD}{BD}$=$\frac{BG}{CE}•\frac{CE}{EA}•\frac{EA}{BG}$=1．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．