Question

11．如图1，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是线段CD，AD，AB上的点，点H是线段AB上一个动点（不与A，B重合），把直角梯形ADEH沿EH折叠，若AD=8，DE=5，CE=10，DF=2$\sqrt{15}$，BG=$\frac{32}{3}$，则当点F的对应点F′落在CG上时，CF′=1．

Answer 1

分析 如图连接EF、EF′，作F′M⊥CE于M．首先证明△CMF′∽△GBC，推出F′M：CM：CF′=3：4：5，设F′M=3k，CM=4k，CF′=5k，在Rt△EMF′中，根据EF′²=EM²+MF′²，列出方程即可解决问题．

解答 解：如图连接EF、EF′，作F′M⊥CE于M．

在Rt△DEF中，∵DF=2$\sqrt{15}$，DE=5，
∴EF=EF′=$\sqrt{D{F}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{60+25}$=$\sqrt{85}$，
在Rt△BGC中，∵BG=$\frac{32}{3}$，BC=8，
∴CG=$\sqrt{G{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{40}{3}$，
∴BC：BG：GC=3：4：5，
由△CMF′∽△GBC，可知F′M：CM：CF′=3：4：5，设F′M=3k，CM=4k，CF′=5k，
在Rt△EMF′中，∵EF′²=EM²+MF′²，
∴（$\sqrt{85}$）²=（10-4k）²+（3k）²，
解得k=$\frac{1}{5}$或3（舍弃），
∴CF′=5k=1．
故答案为1．

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形，学会用构建方程的首先思考问题，属于中考填空题中的压轴题．