Question

2．如图①，在△ABC中，∠BAC=60°，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，BE与CD相交于点F，∠DFE=120°，连接AF．

（1）求证：AF平分∠DFE；
（2）如图②，取BC中点G，连接AG交BE于H，试探究线段AH与BH的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AF、DE，先证明△ADE是等边三角形，得出∠AED=∠ADE=60°，再证明点E、A、D、F四点共圆，由圆周角定理证出∠AFE=∠AFD，即可得出结论；
（2）延长AG至M，使MG=AG，连接CM、BM，则四边形ABMC是平行四边形，得出AB∥CM，AB=CM，证出∠1=∠2，证出∠DEC=∠BDE=120°，由三角形内角和定理证出∠3=∠4，得出△CED∽△EDB，得出对应边成比例$\frac{CE}{ED}=\frac{ED}{BD}$，由比例的性质得出$\frac{CE}{ED+CE}=\frac{ED}{BD+ED}$，由等边三角形的性质得出AE=ED=AD，证出$\frac{CE}{ED}=\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{CM}$，证明△CED∽△ACM，得出∠3=∠2，证出∠1=∠4，由等腰三角形的判定定理得出AH=BH即可．

解答 （1）证明：连接AF、DE，如图①所示：
∵∠BAC=60°，AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED=∠ADE=60°，
∵∠DFE=120°，∴∠BAC+∠DFE=180°，
∴点E、A、D、F四点共圆，
∴∠AFE=∠ADE=60°，∠AFD=∠AED=60°，
∴∠AFE=∠AFD，
∴AF平分∠DFE；
（2）解：AH=BH，理由如下：
延长AG至M，使MG=AG，连接CM、BM，如图②所示：
∵G是BC的中点，
∴BG=CG，
∴四边形ABMC是平行四边形，
∴AB∥CM，AB=CM，
∴∠1=∠2，∠ACM=180°-∠BAC=120°，
∵∠AED=∠ADE=60°，
∴∠DEC=∠BDE=120°，
∵∠FED=∠DEB，∠EFD=∠BDE=120°，
∴由三角形内角和定理得：∠3=∠4，
∴△CED∽△EDB，
∴$\frac{CE}{ED}=\frac{ED}{BD}$，
∴$\frac{CE}{ED+CE}=\frac{ED}{BD+ED}$，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=ED=AD，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{ED}{AB}$，
∴$\frac{CE}{ED}=\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{CM}$，
又∵∠CED=∠ACM=120°，
∴△CED∽△ACM，
∴∠3=∠2，
又∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠4，
∴AH=BH．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，难度较大，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．