Question

3．先阅读下列材料，然后解答问题：
某同学在计算3（4+1）（4²+1）时，把3写成4-1后发现可以连续运用平方差公式计算．即3（4+1）（4²+1）=（4-1）（4+1）（4²+1）=（4²-1）（4²+1）=16²-1．很受启发，后来再求（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）
…（2²⁰⁴⁸+1）的值时，又改造此法，将乘积式前面乘以1，且把1写成（2-1）．即：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2²⁰⁴⁸-1）（2²⁰⁴⁸+1）=2⁴⁰⁹⁶-1
问题：
（1）请借鉴该同学的经验，计算：$\frac{3}{2}$（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）+$\frac{1}{{2}^{15}}$；
（2）借用上述的方法，再逆用平方差公式计算：
（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{5}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）．（n为自然数，且n≥2）

Answer 1

分析 （1）根据已知乘以2（1-$\frac{1}{2}$），再依次根据平方差公式进行计算即可；
（2）先根据平方差公式分解因式，再进行约分即可．

解答 解：（1）原式=2（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2（1-$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2（1-$\frac{1}{{2}^{8}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2（1-$\frac{1}{{2}^{16}}$）+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2-$\frac{1}{{2}^{15}}$+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2；

（2）（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{5}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）
=（1+$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{4}$）…（1+$\frac{1}{n}$）（1-$\frac{1}{n}$）
=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{5}{4}$×$\frac{3}{4}$×…$\frac{n+1}{n}$×$\frac{n-1}{n}$
=$\frac{1}{2}$×$\frac{n+1}{n}$
=$\frac{n+1}{n}$．

点评 本题考查了平方差公式的应用，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键．