Question

8．∠AOB=90°，∠COD=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．

（1）如图1，当A，O，D三点共线时，则∠EOF=75°
（2）将∠COD绕点O顺时针方向旋转至如图2所示位置，∠COD的两边OC，OD都在∠AOB的内部，求∠EOF的度数；
（3）当∠COD旋转至如图3所示位置，作∠EOF的角平分线ON，求∠EON的度数．

Answer 1

分析 （1）根据平角的定义可求∠AOC，∠BOD的度数，再根据角平分线的定义求得∠AOE，∠FOD的度数，再根据平角的定义可求∠EOF的度数；
（2）设∠AOE=∠COE=x，根据角的和差关系得到∠BOD=30°-2x，根据角平分线的定义得到∠BOF=15°-x，再∠EOF=∠AOB-（∠AOE+∠BOF）即可求解；
（3）设∠BOC=2x，则∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=270°-2x，∠BOD=∠BOC+∠COD=2x+60°，根据角平分线的定义得到∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=135°-x，同理∠DOF=$\frac{1}{2}$∠BOD=x+30°，可得∠EOF=∠COE+∠DOF-∠COD=105°，再根据角平分线的定义得到∠EON的度数．

解答 解：（1）∵∠COD=60°，∠AOB=90°，
∴∠AOC=120°，∠BOD=90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=60°，∠FOD=45°，
∴∠EOF=180°-60°-45°=75°；
（2）∵OE平分∠AOC，
∴设∠AOE=∠COE=x，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOC-∠COD=90°-2x-60°=30°-2x，
又∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$（30°-2x）=15°-x，
∴∠EOF=∠AOB-（∠AOE+∠BOF）=90°-（x+15°-x）=75°，
（3）设∠BOC=2x，
则∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=360°-90°-2x=270°-2x，
∠BOD=∠BOC+∠COD=2x+60°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=135°-x，
同理∠DOF=$\frac{1}{2}$∠BOD=x+30°，
∴∠EOF=∠COE+∠DOF-∠COD=105°，
又∵ON平分∠EOF
∴∠EON=$\frac{1}{2}$∠EOF=52.5°．
故答案为：75°．

点评 本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．