Question

如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,旋转的性质

专题：证明题,压轴题

分析：利用旋转的性质以及正方形的性质进而得出等腰三角形，再利用全等三角形的判定与性质判断得出．

解答：解；图中的等腰三角形有：△DCC′，△DC′A，△C′AB，△C′BC，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=90°，
∴DC=DC′=DA，
∴△DCC′，△DC′A为等腰三角形，
∵∠C′DC=30°，∠ADC=90°，
∴∠ADC′=60°，
∴△AC′D为等边三角形，
∴AC′=AD=AB，
∴△C′AB为等腰三角形，
∵∠C′AB=90°-60°=30°，
∴∠CDC′=∠C′AB，
在△DCC′和△ABC′中

CD=BA ∠CDC′=∠C′AB C′D=C′A

，
∴△DCC′≌△ABC′（SAS），
∴CC′=C′B，
∴△BCC′为等腰三角形．

点评：此题主要考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AC′D为等边三角形是解题关键．