如图1.直角梯形OABC中.BC∥OA.OA=6.BC=2.∠BAO=45°． (1)OC的长为 , (2)D是OA上一点.以BD为直径作⊙M.⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时.sin∠BOQ= , (3)如图2.动点P以每秒1个单位长度的速度.从点O沿线段OA向点A运动,同时动点D以相同的速度.从点B沿折线B-C-O向点O运动．当点P到达点A时.两点同时停止运动．过点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．

（1）OC的长为

；
（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=

；
（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B-C-O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O-B-A交于点E．设点P运动的时间为t（秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．

考点：圆的综合题,勾股定理,矩形的判定与性质,圆周角定理,切线的性质,平行线分线段成比例,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．
（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR²=OB²-OR²=BG²-RG²可求出x，进而可求出BR，在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．
（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题．

解答：

解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），
则有∠BHA=90°=∠COA．
∴OC∥BH．
∵BC∥OA，
∴四边形OCBH是矩形．
∴OC=BH，BC=OH．
∵OA=6，BC=2，
∴AH=0A-OH=OA-BC=6-2=4．
∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，
∴tan∠BAH=

=1．
∴BH=HA=4．
∴OC=BH=4．
故答案为：4．

（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，
连接MN、DG，如图1（2）．
由（1）得OH=2，BH=4．
∵OC与⊙M相切于N，
∴MN⊥OC．
设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．
∵BC⊥OC，OA⊥OC，
∴BC∥MN∥OA．
∵BM=DM，∴CN=ON．
∴MN=

（BC+OD）．
∴OD=2r-2．
∴DH=

OD-OH

2r-4

．
在Rt△BHD中，
∵∠BHD=90°，∴BD²=BH²+DH²．
∴（2r）²=4²+（2r-4）²．
解得：r=2．