Question

2．如图，点A、B是线段MN上方两点．AN与BM相交于点C，且∠AMN=∠BNM=60°，∠MAN+∠MBN=180°．
（1）求∠ACM的度数；
（2）求证：MN=AM+BN．

Answer 1

分析 （1）如图1，作辅助线，构建等边三角形BDN，证明AM∥BD，则∠MAN+∠AED=180°，由已知的，∠MAN+∠MBN=180°，得∠AED=∠MBN，再根据外角定理可证得：∠ACM=∠DBN=60°；
（2）如图2，构建等边三角形FMN，证明△MNB≌△NFA，可得出结论．

解答 解：（1）如图1，在NM上取一点D，使DN=BN，连接BD，
∵∠BNM=60°，
∴△BDN是等边三角形，
∴∠BDN=∠DBN=60°，
∵∠AMN=60°，
∴∠AMN=∠BDN，
∴AM∥BD，
∴∠MAN+∠AED=180°，
∵∠MAN+∠MBN=180°，
∴∠AED=∠MBN，
∵∠AED=∠NCB+∠MBD，
∠MBN=∠MBD+∠DBN，
∴∠NCB+∠MBD=∠MBD+∠DBN，
∴∠NCB=∠DBN，
∵∠ACM=∠NCB，
∴∠ACM=∠DBN=60°；
（2）如图2，延长MA、NB交于F，
∵∠AMN=∠BNM=60°，
∴∠F=60°，
∴△FMN是等边三角形，
∴MF=NF=MN，
由（1）得：∠ACM=60°，
∴∠ACM=∠CMN+∠CNM=60°，
∵∠BNM=60°，
∴∠BNM=∠CNM+∠ANB=60°，
∴∠CMN=∠ANB，
∵∠F=∠MNB=60°，
∴△MNB≌△NFA，
∴BN=AF，
∴MN=MF=AM+AF=AM+BN．

点评 本题考查了等边三角形、全等三角形的性质和判定，第（1）难度适中，截取相等线段得平行线和等边三角形，即可证得结论；第二问相对较难一些，构建等边三角形FMN，并证明△MNB≌△NFA是关键．