Question

17．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+n与抛物线y=ax²+bx+3相交子点A（-5，-7）、B（5，c），点C、D在直线AB上，且点D在点C的右侧，过点C、D分别作CF、DE平行于y轴交抛物线于点F、E，以点C、D、E、F为顶点的多边形记作图形M，其面积为S，设点C的横坐标为m，点D的横坐标为m+2，当-5＜m＜5时，解答下列问题：
（1）求直线与抛物线所对应的函数关系式；
（2）求s与m的函数关系式；
（3）当M为中心对称图形时，求m的值；
（4）将M沿直线AB翻折，E、F两点的对应点为E′、F′，请直接写出C、D、E、F四个点中有且只有两个点同时落在第四象限时m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由直线y=x+n经过点A（-5，-7），B（5，c），求出n，c，把A（-5，-7），B（5，3）代入y=ax²+bx+3解方程组即可．
（2）分两种情形讨论：求出FC、ED，根据梯形的面积公式计算即可．
（3）分两种情形讨论：当M为平行四边形时，M为中心对称图形，由CF=DE，列出方程计算即可．
（4）分别求出当点F′落在y轴上时（如图1中），m的值；当点D在y轴上时（如图2中），m的值；当点D在x轴上时（如图3中），m的值；当点C在x轴上时（如图4中），m的值，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵直线y=x+n经过点A（-5，-7），B（5，c），
∴-7=-5+n，
∴n=-2．
∴c=5-2=3，
∴直线解析式为y=x-2．
把A（-5，-7），B（5，3）代入y=ax²+bx+3得到$\left\{\begin{array}{l}{25a-5b+3=-7}\\{25a+5b+3=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{5}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{5}$x²+x+3．

（2）①当-5＜m≤3时，
∵点C横坐标为m，
∴C（m，m-2），D（m+2，m），F（m，-$\frac{1}{5}$m²+m+3），E[m+2，-$\frac{1}{5}$（m+2）²+（m+2）+3]，
∴FC=-$\frac{1}{5}$m²+m+3-（m-2）=-$\frac{1}{5}$m²+5，ED=-$\frac{1}{5}$（m+2）²+5，
∴S=$\frac{1}{2}$×2×[-$\frac{1}{5}$m²+5-$\frac{1}{5}$（m+2）²+5]
=-$\frac{2}{5}$m²-$\frac{2}{5}$m+$\frac{46}{5}$．
②当3＜m＜5时，S=S=$\frac{1}{2}$×2×[-$\frac{1}{5}$m²+5+$\frac{1}{5}$（m+2）²-5]=$\frac{4}{5}$m+$\frac{4}{5}$

（3）①当-5＜m≤3时，当M为平行四边形时，M为中心对称图形，
∴CF=DE，
∴-$\frac{1}{5}$m²+5=-$\frac{1}{5}$（m+2）²+5，
解得m=-1．
②当3＜m＜5时，可得-$\frac{1}{5}$m²+5=$\frac{1}{5}$（m+2）²-5，
解得m=-1+2$\sqrt{6}$或-1-2$\sqrt{6}$（舍弃），
综上所述，m=-1或-1+2$\sqrt{6}$．

（4）如图1中，当点F′落在y轴上时，因为C（m，m-2），则F（m，-$\frac{1}{5}$m²+m+3），

∵CF=CF′，
∴-m=-$\frac{1}{5}$m²+m+3-（m-2），
解得：m=$\frac{5-5\sqrt{5}}{2}$或$\frac{5+5\sqrt{2}}{2}$（舍弃），
如图2中，当点D在y轴上时，m+2=0，m=-2，

如图3中，当点D在x轴上时，m+2=2，m=0，

如图4中，当点C在x轴上时，m=2，

综上所述，当C、D、E′、F′四个点中有且只有两个点同时落在第四象限时m的取值范围为$\frac{5-5\sqrt{5}}{2}$＜m≤-2，或0＜m＜2．

点评 本题考查二次函数的综合题、翻折变换、一次函数．梯形的面积公式等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，学会可以特殊位置考虑问题，找到问题的突破口，属于中考压轴题．