Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；

（2）把（1）中所求出的抛物线记为C1，将C1向右平移m个单位得到抛物线C2，C1与C2的在第一象限交点为M，过点M作MK于K，MG⊥x轴于点G，交线段AC于点H，连接CM．

①求线段MK长度的最大值；

②当△CMH为等腰三角形时，求抛物线向右平移的距离m和此时点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；( （2）① ②当m＝1时，M（2，3）；当m＝5﹣2时，M．

【解析】

（1）利用点A，B的坐标得到抛物线的解析式，并将其整理成顶点式，即可得顶点坐标；

（2）①关键是证明∽得到MK=，化斜为直，只需MH长度最大时，MK长度最大，设M(x，﹣x2++2）,H(x，﹣x+2），MH长度的最大值转化为二次函数的最值问题即可求解；

②△CMH为等腰三角形，分三种情况：（ⅰ）当CM＝CH时，（ii）当HC＝HM时,（iii）当CM＝HM时，分别利用其相应的几何特征建立方程求解得到点M的坐标，代入平移后的解析式中求得m的值．

解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx+2＝2，

∴抛物线经过（0，2），

∵抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，

设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1），

把（0，2）代入得：2＝a（0﹣4）（0+1），

a＝﹣，

∴y＝﹣（x﹣4）（x+1）＝﹣x2++2＝﹣（x﹣）2+，

∴抛物线的表达式为：，顶点坐标是(

(2)①设直线AC的表达式为：y＝kx+b，

把A（4，0）、C（0，2）代入得：，

解得：，

∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+2，

，

∽，

，

设M(x，﹣x2++2）,H(x，﹣x+2）由题知

MK==[﹣x2++2-(﹣x+2)]=[-]

当x=2时，MK最大等于

②∵△CMH为等腰三角形，分三种情况：

（ⅰ）当CM＝CH时，C是MH垂直平分线上的点，过点C作CP⊥MH，则MP=PH，

且由图可知OC=PG=2

∴GH+GM=PG-PH+PG+MP=2PG=2OC

∴GH+GM＝4，

则﹣x2++2+（﹣x+2）＝4，解得：x1＝0（舍），x2＝2，

∴M（2，3），

设平移后的抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣﹣m）2+，

把M（2，3）代入得：m＝1．

（ⅱ）当HC＝HM时，HM＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，

CH2＝，CH＝，

∴＝﹣x2+2x，解得x1＝0（舍），x2＝4﹣，

∴M（4﹣，﹣），

设平移后的抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣﹣m）2+，

把M（4﹣，﹣）代入得：m1＝0（舍），m2＝5﹣2；

（ⅲ）当CM＝HM时，HM＝﹣x2+2x，CM2＝，

则＝， 解得x＝，

∴M（，），

设平移后的抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣﹣m）2+，

把M（，）代入得：m＝0（舍）；

综上所述，当m＝1时，M（2，3）；当m＝5﹣2时，M（4﹣，﹣）．