Question

10．如图，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，点E，F分别在AD，BC边上，AE=BF=1cm，求证：矩形ABFE∽矩形ADCB．

Answer 1

分析 根据矩形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AD∥BC，求出四边形AEFB是矩形，推出∠AEF=∠EFB=90°，AB=EF=2cm，求出∠A=∠A，∠AEF=∠B，∠B=∠D，∠EFB=∠C，$\frac{AE}{AB}$=$\frac{BF}{CD}$=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，根据多边形相似的判定定理推出即可．

解答 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AD∥BC，
即AE∥BF，
∵AE=BF，
∴四边形AEFB是矩形，
∴∠AEF=∠EFB=90°，AB=EF=2cm，
∴∠A=∠A，∠AEF=∠B，∠B=∠D，∠EFB=∠C，$\frac{AE}{AB}$=$\frac{BF}{CD}$=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴矩形ABFE∽矩形ADCB．

点评 本题考查了矩形的性质和判定，相似多边形的判定定理的应用，能求出∠A=∠A、∠AEF=∠B、∠B=∠D、∠EFB=∠C、$\frac{AE}{AB}$=$\frac{BF}{CD}$=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{2}$是解此题的关键，难度适中．