Question

14．有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知，BC=12cm，高AD=8cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上．
（1）若EF=HE，求EF的长；
（2）问EF长为多少时，矩形EFGH的面积是三角形ABC的面积的$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）先由BC=12cm，高AD=8cm，HE=ycm、EF=xcm可知，AK=AD-y=8-y，HG=EF=x，再根据HG∥BC可知，△AHG∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出y与x的函数关系式，根据x=y即可得出结论；
（2）根据（1）中的关系式用x表示出y，利用矩形及三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）∵BC=10cm，高AD=8cm，HE的长为ycm、EF的长为xcm，四边形EFGH是矩形，
∴AK=AD-y=8-y，HG=EF=x，HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴$\frac{AK}{AD}$=$\frac{HG}{BC}$，即$\frac{8-y}{8}$=$\frac{x}{12}$．
∵x=y，
∴x=4.8cm，即EF=4.8cm；

（2）∵由（1）可知，$\frac{8-y}{8}$=$\frac{x}{12}$，
∴y=8-$\frac{2}{3}$x．
∵矩形EFGH的面积是三角形ABC的面积的$\frac{1}{4}$，
∴xy=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×12×8=12，即（8-$\frac{2}{3}$x）x=12，解得x₁=6+3$\sqrt{2}$，x₂=6-3$\sqrt{2}$，
∴当EF长为6+3$\sqrt{2}$或6-3$\sqrt{2}$时，矩形EFGH的面积是三角形ABC的面积的$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．