Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a₀，∠A=θ（其中a₀，θ为常数），把边长依次为a₁，a₂，a₃，…，a₁₀的10个正方形依次放入Rt△ABC中，第一个正方形CM₁P₁N₁的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二个正方形M₁M₂P₂N₂的顶点分别放在Rt△AP₁M₁的各边上，…，其他正方形依次放入，则第10个正方形的边长a₁₀=a₀（$\frac{1}{1+tanθ}$）¹⁰．（用a₀，θ表示）

Answer 1

分析 证明△AP₁M₁∽△ABC，得到$\frac{A{M}_{1}}{AC}=\frac{{P}_{1}{M}_{1}}{BC}$，解得：x₁=$\frac{ab}{a+b}$；运用类比的方法，同理可求x₂，x₃，…x_n，即可解决问题．

解答 解：如图，设AC=b，BC=a，
由题意得：P₁M₁=x₁，A，M₁=b-x₁；
∵P₁M₁∥BC，
∴△AP₁M₁∽△ABC，且BC=a，
∴$\frac{A{M}_{1}}{AC}=\frac{{P}_{1}{M}_{1}}{BC}$，
解得：x₁=$\frac{ab}{a+b}$；
同理可求：x₂=$\frac{a{b}^{2}}{（a+b）^{2}}$，x₃=$\frac{a{b}^{3}}{（a+b）^{3}}$，…，x_n=$\frac{a{b}^{n}}{（a+b）^{n}}$，
∵∠C=90°，BC=a₀，∠A=θ，
∴tanθ=$\frac{a}{b}$，
∴a₁₀=$\frac{a{b}^{10}}{（a+b）^{10}}$=a₀（$\frac{b}{a+b}$）¹⁰=a₀（$\frac{1}{\frac{a}{b}+1}$）¹⁰=a₀（$\frac{1}{1+tanθ}$）¹⁰．

点评 该题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握正方形的性质、相似三角形的判定及其性质；这是灵活解题的基础和关键．