Question

9．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（　　）

• A． 2
• B． 2.5或3.5
• C． 2或3.5
• D． 2或2.5

Answer 1

分析 求出AB=2BC=4cm，分两种情况：①当∠EDB=∠ACB=90°时，DE∥AC，△EBD∽△ABC，得出AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2cm，即可得出t=2s；②当∠DEB=∠ACB=90°时，证出△DBE∽△ABC，得出∠BDE=∠A=30°，因此BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$cm，得出AE=3.5cm，t=3.5s；即可得出结果．

解答 解：∵，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=4cm，
分两种情况：
①当∠EDB=∠ACB=90°时，
DE∥AC，△EBD∽△ABC，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=1cm，E为AB的中点，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2cm，
∴t=2s；
②当∠DEB=∠ACB=90°时，
∵∠B=∠B，
∴△DBE∽△ABC，
∴∠BDE=∠A=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$cm，
∴AE=3.5cm，
∴t=3.5s；
综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5；
故选：C．

点评 本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论．