Question

【题目】在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于B．

（1）求直线CB的解析式；

（2）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上，与x轴交的点恰为⊙A与x轴的交点，求该抛物线的解析式；

（3）试判断C是否在抛物线上？

Answer 1

【答案】（1）y=x+2；

（2）y=﹣x2+x+2；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）连接AC，根据圆的半径求出AC，根据点A的坐标求出OA，然后利用勾股定理列式求出OC，从而得到点C的坐标，再求出 然后根据直角三角形两锐角互余求出 再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度，然后求出OB，从而得到点B的坐标，设直线BC的解析式为 然后利用待定系数法求函数解析式解答即可；
（2）根据圆的性质求出点然后设交点式抛物线解析式为再根据抛物线的对称性确定顶点的横坐标为2，利用顶点在直线BC上求出纵坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）把点C坐标代入抛物线解析式验证即可．

试题解析：(1)如图,连接AC,

∵⊙A的半径为4,圆心A的坐标为(2,0)，

∴AC=4，OA=2，

在Rt△ACO中,

∴点C的坐标为

∵

∴

∴

∴AB=2AC=2×4=8，

∴OB=ABOA=82=6，

∴点B的坐标为(6,0)，

设直线BC的解析式为

则

解得

所以,直线BC的解析式为

(2)∵⊙A的半径为4,圆心A的坐标为(2,0)，

∴点E(2,0)、F(6,0)，

∵抛物线经过点E.F，

∴顶点的横坐标为2，

∵顶点在直线BC上，

∴顶点纵坐标为

∴顶点坐标为

设抛物线解析式为y=a(x+2)(x6)，

∴

解得

∴

即

(3)当x=0时,

所以,点在抛物线上.