Question

7．如果三角形三边的长a、b、c满足$\frac{a+b+c}{3}$=b，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”，如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．
（1）如图1，已知两条线段的长分别为a、c（a＜c）．用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a、c的“匀称三角形”（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB延长线于点E，交AC于点F，若$\frac{BE}{CF}=\frac{5}{3}$，判断△AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以画出相应的图形，本题得以解决；
（2）根据“匀称三角形”的定义，由题目中信息的，利用切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等以及勾股定理可以判断△AEF是否为“匀称三角形”．

解答 解：（1）所求图形，如右图1所示，
（2）△AEF是“匀称三角形”，
理由：连接AD、OD，如右图2所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴点D是BC的中点，
∵点O为AB的中点，
∴OD∥AC，
∵DF切⊙O于点D，
∴OD⊥DF，
∴EF⊥AF，
过点B作BG⊥EF于点G，
∵∠BGD=∠CFD=90°，∠BDG=∠CDF，BD=CD，
∴△BGD≌△CFD（ASA），
∴BG=CF，
∵$\frac{BE}{CF}=\frac{5}{3}$，
∴$\frac{BE}{BG}=\frac{5}{3}$，
∵BG∥AF，
∴$\frac{BE}{BG}=\frac{AE}{AF}=\frac{5}{3}$，
在Rt△AEF中，设AE=5k，AF=3k，由勾股定理得，EF=4k，
∴$\frac{AE+EF+AF}{3}=\frac{5k+4k+3k}{3}=4k=EF$，
∴△AEF是“匀称三角形”．

点评 本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．