Question

二次函数y=ax²+bx+c（a＞0，b＜0）的图象和x轴，y轴都只有一个交点，它们分别为P、Q，已知|PQ|=2

2

，且有b+2bc=0，另一个一次函数y=x+m的图象过P点，并与这个二次函数图象交于另一点R，求△PQR的面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：根据图象与x轴只有一个交点，可得△等于零，解方程组，可得a、b、c的值，可得函数解析式，再解方程组，可得交点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案．

解答：解：当x=0时，y=c，二次函数与y轴的交点Q（0，c），二次函数y=ax²+bx+c（a＞0，b＜0）的图象和x轴只有一个交点，
∴b²-4ac=0  ①
∴x=

b

2a

，与x轴的交点P的坐标是（-

b

2a

，0）．
∵|PQ|=

OP2+OQ2

=

c2+(- b 2a )2

=2

2

，
∴c²+

b2

4a2

=8  ②，又∵b+2bc=0 ③，
①②③联立得方程组

b2-4ac=0① c2+ b2 4a2 =8② b+2bc=0③

由①得2ac=

b2

2

   ④，
把④代入③得b+

b2

2

=0，
解得 b=0不符合题意的要舍去）b=-2，
把b=-2代入②③得

c2+ 1 a2 =8 ac=1

，
解得

a= 1 2 c=2

a=- 1 2 c=2

（不符合题意的要舍去），
∴抛物线的解析式是y=

1

2

x²-2x+2，
∴P（2，0）Q（0，2），
∵y=x+m的图象过P点，
m+2=0，解得m=-2，
直线解析式是y=x-2，
联立抛物线解析式，得

y= 1 2 x2-2x+2 y=x-2

，
解得

x=4 y=2

，
R（4，2），
∴QR∥x，
∴S_△PQR=

1

2

QR•Q_y=

1

2

×4×2=4．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了图象和x轴，y轴都只有一个交点，得出方程，消元解方程组，三角形的面积公式．