Question

14．用换元法解分式方程：$\frac{x-1}{x}-\frac{3x}{x-1}$=2
解：设$\frac{x-1}{x}$=m，则原方程可化为m-$\frac{3}{m}$=2；去分母整理得：m²-2m-3=0
解得：m₁=-1，m₂=3即：$\frac{x-1}{x}$=-1或$\frac{x-1}{x}$=3；解得：x=$\frac{1}{2}$或x=-$\frac{1}{2}$
经检验：x=$\frac{1}{2}$或 x=-$\frac{1}{2}$是原方程的解．故原方程的解为：x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=-$\frac{1}{2}$．
请同学们借鉴上面换元法解分式方程的方法，先解下列方程，然后再化简求值：
已知a是方程${（{\frac{x+2}{x-1}}）^2}-（{\frac{x+2}{x-1}}）-2=0$的根，并求代数式$\frac{a-2}{a-1}÷（{\frac{a+2}{a-2}-\frac{8a}{{{a^2}-4}}}）$的值？

Answer 1

分析 先仿照题例，设$\frac{x+2}{x-1}$=m，将原方程化为m²-m-2=0，然后解这个整式方程，再还元求得原方程的解，另外要注意求代数式的值时，注意a的取值之合理性．

解答 解：（$\frac{x+2}{x-1}$）²-（$\frac{x+2}{x-1}$）-2=0
          设$\frac{x+2}{x-1}$=m，则原方程可化为
          m²-m-2=0，
          解这个整式方程得：
           m₁=2，m₂=-1
           即：$\frac{x+2}{x-1}$=2或$\frac{x+2}{x-1}$=-1；
           解得：x=4或x=-$\frac{1}{2}$
           经检验：x=4或 x=-$\frac{1}{2}$是原方程的解．
          故原方程的解为：x₁=4，x₂=-$\frac{1}{2}$．
          因为a是方程${（{\frac{x+2}{x-1}}）^2}-（{\frac{x+2}{x-1}}）-2=0$的根，
          所以，a=4或a=-$\frac{1}{2}$
              $\frac{a-2}{a-1}÷（{\frac{a+2}{a-2}-\frac{8a}{{{a^2}-4}}}）$
=$\frac{a-2}{a-1}$÷$\frac{（a+2）^{2}-8a}{{a}^{2}-4}$
=$\frac{a-2}{a-1}$÷$\frac{{a}^{2}-4a+4}{{a}^{2}-4}$
=$\frac{a-2}{a-1}$•$\frac{（a+2）（a-2）}{（a-2）^{2}}$
=$\frac{a+2}{a-1}$
                 则①当a=4时，原式=$\frac{a+2}{a-1}$=$\frac{4+2}{4-1}$=2；
                    ②当a=-$\frac{1}{2}$时，原式=$\frac{a+2}{a-1}$=$\frac{-\frac{1}{2}+2}{-\frac{1}{2}-1}$=-1
                 即：所求代数式的值为2或-1

点评 此题是换元法解分式方程，换元法解分式方程是难点，关键是换元之后把方程化成整式方程，要将所解整式方程的解还原回来，求出原分式方程的解，并要进行验根；